Friday, 12 June 2009

Φράκταλ και γεωμετρία του Χάους

Ο Γαλιλαίος, πατέρας της νεότερης Φυσικής, θεωρούσε τη Φύση σαν ένα γιγάντιο βιβλίο που είναι γραμμένο σε μαθηματική γλώσσα.
Πίστευε λοιπόν ότι τα στοιχεία και τα σύμβολα αυτής της τέλειας γλώσσας είναι εκτός από τους αριθμούς τα τρίγωνα, οι κύκλοι και άλλες γεωμετρικές παραστάσεις. Βέβαια, τέτοια τέλεια γεωμετρικά σχήματα τα συναντάμε σπανιότατα σε φυσικά αντικείμενα, όσο για την ακριβή περιγραφή της μορφής ενός ζωντανού οργανισμού ή ενός σύννεφου, είναι κυριολεκτικά αδιανόητη με όρους ευκλείδειας γεωμετρίας. Σήμερα όμως διαθέτουμε τα αναγκαία μαθηματικά εργαλεία για την περιγραφή αυτών των πολύπλοκων αντικειμένων. Ενα τέτοιο ισχυρότατο εργαλείο είναι η γεωμετρία των φράκταλ, που μας επιτρέπει τόσο τη στατική όσο και τη δυναμική περιγραφή πολύπλοκων φυσικών αντικειμένων όπως οι ζωντανοί οργανισμοί. Ζητήσαμε από τον Αλέξη Μπακόπουλο, διαπρεπή Ελληνα μαθηματικό, να μας ξεναγήσει στον ασυνήθιστο κόσμο των φράκταλς και στο πώς αυτά διαφωτίζουν τις ανακαλύψεις μας σχετικά με το χάος.

Τι ακριβώς είναι τα φράκταλ και γιατί αυτά τα γοητευτικά γεωμετρικά αντικείμενα απασχολούν τους πιο διαφορετικούς κλάδους της επιστήμης: από τη μικροφυσική μέχρι την κυτταρική βιολογία και από την αστροφυσική μέχρι την ανθρώπινη ανατομία;

«Ο όρος "φράκταλ" προέρχεται από το λατινικό fractio (θραύσμα, κομμάτι), λόγω της κλασματικής διάστασής του, και πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Benoit Mandelbrot το 1975. Ηδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1960, αλλά κυρίως την επόμενη δεκαετία, ο Mandelbrot φρόντισε να προσφέρει έναν αρκετά ευρύ αλλά μαθηματικά ακριβή ορισμό τους καθώς και των ιδιαίτερων ιδιοτήτων τους (αυτοομοιότητα, κλασματική διάσταση, μικρή επιφάνεια φράκταλ αλλά άπειρη σε μήκος περίμετρος).

Τα φράκταλ είναι μια γενίκευση των κλασικών γεωμετρικών σχημάτων (τρίγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα, πυραμίδες κ.τ.λ.) σε μη κανονικά και συχνά πολύπλοκα "γεωμετρικά" σχήματα, τα οποία είτε βρίσκονται στη φύση είτε κατασκευάζονται από τον άνθρωπο για διάφορες εφαρμογές ή απλώς για την ομορφιά τους. Ετσι, η φρακταλική γεωμετρία μάς επιτρέπει να περιγράφουμε ικανοποιητικά και να απεικονίζουμε πολύπλοκες φυσικές δομές όπως τα φύλλα των δέντρων, τα φτερά των πουλιών, το νεφρό του ανθρώπου, μονοκύτταρους οργανισμούς, πυρήνες κυττάρων αλλά και σύννεφα, ποτάμια, γαλαξίες. Επιπλέον, η βαθύτερη κατανόηση των πολύπλοκων γεωμετρικών ιδιοτήτων και σχέσεων των φράκταλ φαίνεται να αποκαλύπτει κάποιους εγγενείς μηχανισμούς μορφογένεσης στον οργανικό και τον ανόργανο κόσμο.

Αξίζει όμως να αναφερθεί ότι, παράλληλα με αυτές τις σημαντικές επιστημονικές εξελίξεις, υπάρχει πολύς τσαρλατανισμός και μόδα σχετικά με τα φράκταλ. Η ευκολία πρόσβασης στην εικόνα, η γοητεία που ασκούν αυτές οι παράξενες γεωμετρικές δομές και η συνήθης ψευτοφιλοσοφική διαπλοκή που συχνά συνοδεύει κάποιες μαθηματικές επινοήσεις -όπως π.χ. η θεωρία καταστροφών, το χάος, η γεωμετρία των φράκταλ- αποτελούν τις αιτίες πολλών παρανοήσεων σχετικά με τις δυνατότητες αλλά και τα πεδία εφαρμογής αυτών των νέων επιστημονικών θεωριών».

Μια θεμελιώδης αλλά «δύσπεπτη» ιδιότητα όλων των φράκταλ δομών -είτε είναι φυσικές είτε τεχνητές- είναι η «αυτοομοιότητα». Θα θέλατε να μας εξηγήσετε τι σημαίνει αυτή η σκοτεινή έννοια;

«Αν παρατηρήσουμε προσεχτικά ένα μικρό κομμάτι από ένα σύννεφο ή ένα μικρό τμήμα ανθρώπινου νεφρού, διαπιστώνουμε ότι η βασική γεωμετρική του δομή παραμένει η ίδια σε κάθε κλίμακα (από το πολύ μικρό μέχρι το πολύ μεγάλο). Οπως οι ρωσικές κούκλες ματριούσκι, τα φράκταλ διατηρούν τη βασική γεωμετρία τους σε κάθε κλίμακα. Αυτή την ιδιότητα, που οι μαθηματικοί την αποκαλούν "αυτοομοιότητα" ή μάλλον στατιστική αυτοομοιότητα, δεν τη διαθέτουν τα κλασικά γεωμετρικά σχήματα: ένα κομμάτι κύκλου ή τετραγώνου δεν είναι ποτέ το ίδιο σχήμα με όλο τον κύκλο ή με όλο το τετράγωνο.

Στην αυτοομοιότητα υπάρχει μια εσωτερική "οργανική" ευστάθεια που σχετίζεται με τη λεγόμενη "ολογραφία", δηλαδή με την εγγενή ολογραφική οργάνωση αυτών των δομών. Οταν λέμε ότι "το νεφρό είναι ολογραφικό" σημαίνει ότι αν του αφαιρέσεις ένα οποιοδήποτε κομμάτι, το υπόλοιπο θα είναι το ίδιο τόσο οπτικά όσο και οργανωτικά, βιοχημικά και λειτουργικά. Αυτή η ευστάθεια, δηλαδή η ολογραφική δικτύωση πολλών βιολογικών μας δομών (πνευμονικοί βρόγχοι, φλέβες και αρτηρίες, νεφρά, συκώτι, ακόμη και το νευρικό σύστημα και εν μέρει ο εγκέφαλος) ίσως μας λέει κάτι σημαντικό για τη «γεωμετρική αναγκαιότητα» της δαρβινικής μας εξέλιξης, δηλαδή για τη φρακταλική μορφογένεση πολλών δομών στα ανώτερα και πιο πολύπλοκα ζώα».

Πώς όμως αυτές οι εξελίξεις στα μαθηματικά εμπλέκονται στη διαμόρφωση της «επιστήμης του Χάους»;

«Χαρακτηριστικό κάποιων "χαοτικών" φαινομένων στη φύση, τα οποία εύκολα αναγνωρίζει όλος ο κόσμος, είναι η ραγδαία αλλαγή καταστάσεως, όπως π.χ. ο σχηματισμός καταιγίδων, τα μπουρίνια, οι τυφώνες, οι οικολογικές καταστροφές και άλλες καταστροφές εν γένει. Οι επιστήμονες όμως χρειάζονται αυστηρούς ορισμούς για να χρησιμοποιήσουν την πανοπλία των Μαθηματικών για την απόδειξη αξιόπιστων ποιοτικών και ποσοτικών αποτελεσμάτων (θεωρήματα). Εκτός από κάποια μεμονωμένα παραδείγματα χάους που πρότειναν γνωστοί μαθηματικοί στο τέλος του 19ου αιώνα και στο πρώτο ήμισυ του 20ού, η θεωρία του Χάους θεμελιώθηκε ως επιστήμη μόνο κατά το δεύτερο ήμισυ του εικοστού αιώνα.

Εκείνη την περίοδο δόθηκαν από μαθηματικούς και φυσικούς νέα και ιδιαίτερα ενδιαφέροντα παραδείγματα χάους, τα οποία αποκάλυψαν κάποιες κοινές σε αυτά τα φαινόμενα σχέσεις, ιδιότητες και θεωρήματα. Οι εφαρμογές και η διεπιστημονική διερεύνηση τέτοιων φαινομένων επεκτάθηκαν σε όλες τις επιστήμες, ενώ η κατασκευή ισχυρών υπολογιστών επιτάχυνε τις εξελίξεις.

Υπάρχουν σήμερα διάφοροι ορισμοί του Χάους -περισσότερο ή λιγότερο αυστηροί στη διατύπωσή τους. Περιληπτικά, ένα εξελισσόμενο εν τω χρόνω σύστημα (δυναμικό σύστημα) λέγεται χαοτικό αν (α) είναι ευαίσθητο στις αρχικές του συνθήκες, και (β) στην εξέλιξή του γίνεται ένα πλήρες «ανακάτεμα» της κατάστασης.

Παράδειγμα του (α) είναι ένα καρύδι στον βόρειο πόλο μιας μπάλας του μπάσκετ υπό την επιρροή της βαρύτητας. Μικρές αρχικές μετακινήσεις του καρυδιού γύρω από τον βόρειο πόλο της μπάλας έχουν ως αποτέλεσμα μεγάλες αλλαγές της τροχιάς του. Παράδειγμα του (β) είναι ένα υγρό στο μπλέντερ. Σημεία του υγρού που είναι κοντά απομακρύνονται. Επίσης, σημεία που είναι μακριά το ένα από το άλλο θα έλθουν κάποτε κοντά. Γίνεται μια πλήρης ανάμειξη (mixing).

Οι υπολογιστές έχουν συμβάλει σημαντικά στη σχετική έρευνα, διότι μπορούν να υπολογίζουν τα διάφορα στάδια της εξέλιξης του εν λόγω δυναμικού συστήματος. Δηλαδή, μας παρέχουν τη δυνατότητα άμεσης ψηφιακής προσομοίωσης των θεωρητικών και φυσικών καταστάσεων που μελετάμε. Οπως αποδεικνύεται, ορισμένα φράκταλ έχουν μια εγγενή σχέση με το χάος λόγω του επαναληπτικού τρόπου κατασκευής τους (δυναμικό σύστημα). Συγκεκριμένα, το όριο αυτής της "συσσωρευμένης" επανάληψης (ονομάζεται "ελκυστής") μεταφράζεται στην ιδιότητα της αυτοομοιότητας αυτών των φράκταλ, που αν το καλοσκεφτούμε είναι ένα είδος ολικού ανακατέματος (mixing).

Πάντως, τόσο η μελέτη των φράκταλ όσο και του χάους μάς έχουν εισαγάγει σε μια νέα θεώρηση της φύσης και των μαθηματικών».

Ποιος είναι ο Α. Μπακόπουλος;
Ο ομότιμος καθηγητής Αλέξης Μπακόπουλος διδάσκει μαθηματικά στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα του ΕΜΠ. Η έρευνά του συνδυάζει διάφορους κλάδους των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών. Υπήρξε καθηγητής στο Τμήμα Θεωρητικών Μαθηματικών του Πολιτειακού Πανεπιστημίου του Michigan, ΗΠΑ, καθηγητής στο Τμήμα Πληροφορικής και Επιχειρησιακής Ερευνας στο γαλλόφωνο πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ στον Καναδά, και επισκέπτης καθηγητής στο Πανεπιστήμιο των Παρισίων. Το 1980 εξελέγη τακτικός καθηγητής στο ΕΜΠ, στην έδρα της Αριθμητικής Ανάλυσης. Εκτοτε υπήρξε διευθυντής του Τομέα Μαθηματικών και πρόεδρος του Γενικού Τμήματος Επιστημών στο Πολυτεχνείο.

ENET

No comments: